Complete guidance on important mathematical concepts for police recruitment percentage, ratio and proportion, simple interest and compound interest : पोलीस भरतीसाठी गणित हा अत्यंत महत्त्वाचा आणि गुण मिळवून देणारा विषय आहे. यातून अनेक विद्यार्थी अचूक तयारी करून चांगले गुण मिळवतात. ह्या लेखात आपण टक्केवारी, अनुपात व प्रमाण, सरळ व्याज आणि चक्रवाढ व्याज या चार महत्त्वाच्या विषयांचा सखोल अभ्यास करणार आहोत. प्रत्येक संकल्पनेची व्याख्या, सूत्रे, उदाहरणे आणि सरावासाठी प्रश्न दिलेले आहेत. हे संपूर्ण मार्गदर्शन परीक्षेसाठी तुमच्या यशाचा पाया घालेल.
भाग 1: टक्केवारी (Percentage)
टक्केवारी म्हणजे काय?
टक्केवारी म्हणजे “प्रति शंभर” अशी संख्या. उदाहरणार्थ, 25% म्हणजे 100 मधील 25 भाग. टक्केवारीचा उपयोग कोणत्याही गोष्टीचा संख्यात्मक अंदाज लावण्यासाठी केला जातो.
टक्केवारी काढण्याचे सूत्र
टक्केवारी=(मिळालेली संख्याएकूण संख्या)×100\text{टक्केवारी} = \left(\frac{\text{मिळालेली संख्या}}{\text{एकूण संख्या}}\right) × 100
उदाहरणे:
- एका वर्गात 80 विद्यार्थी आहेत, त्यातील 60 उत्तीर्ण झाले.
उत्तीर्ण टक्केवारी=(6080)×100=75%\text{उत्तीर्ण टक्केवारी} = \left(\frac{60}{80}\right) × 100 = 75\%
- ₹2000 ची वस्तू 10% सूट देऊन विकल्यास:
सूट=10100×2000=₹200विक्री किंमत=₹2000−₹200=₹1800\text{सूट} = \frac{10}{100} × 2000 = ₹200 \text{विक्री किंमत} = ₹2000 – ₹200 = ₹1800
महत्त्वाची रूपांतरे:
| अपूर्णांक | दशांश | टक्केवारी |
|---|---|---|
| 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1/4 | 0.25 | 25% |
| 3/4 | 0.75 | 75% |
| 1/5 | 0.2 | 20% |
| 2/5 | 0.4 | 40% |
सरावासाठी प्रश्न:
- 480 पैकी 360 गुण मिळवले, टक्केवारी किती?
- ₹5000 च्या वस्तूवर 15% सूट दिली, सूट रक्कम किती?
भाग 2: अनुपात व प्रमाण (Ratio and Proportion)
अनुपात म्हणजे काय?
जेव्हा दोन समान प्रकारच्या संख्यांची तुलना केली जाते, तेव्हा त्या संख्यांचा ‘अनुपात’ तयार होतो.
उदा. रामकडे ₹400 आणि श्यामकडे ₹600 आहेत.
त्याचा अनुपात = 400:600 = 2:3
प्रमाण म्हणजे काय?
जेव्हा दोन अनुपात समान असतात तेव्हा ते ‘प्रमाणात’ असतात.
उदा. 2:3=4:6 कारण 2×6=3×4=122:3 = 4:6 \text{ कारण } 2 × 6 = 3 × 4 = 12
अनुपात आणि प्रमाणासाठी सूत्र:
- जर a:b=c:da:b = c:d, तर a×d=b×ca×d = b×c
अनुपातामधील वाटप:
₹1000 चे 2:3 प्रमाणात वाटप:
- एकूण भाग = 2 + 3 = 5
- 2 भाग = (2/5)×1000 = ₹400
- 3 भाग = ₹600
सरावासाठी प्रश्न:
- ₹900 चे 2:1 प्रमाणात वाटप करा.
- A:B = 2:3 आणि B:C = 4:5 तर A:C = ?
भाग 3: सरळ व्याज (Simple Interest)
सरळ व्याज म्हणजे काय?
सरळ व्याज म्हणजे एक निश्चित दराने ठराविक वेळेसाठी मूळ रकमेवर मिळणारे व्याज.
सरळ व्याजाचे सूत्र:
SI=P×R×T100SI = \frac{P × R × T}{100}
- SI = सरळ व्याज
- P = मूळ रक्कम (Principal)
- R = वार्षिक व्याज दर (%)
- T = कालावधी (वर्षांमध्ये)
उदाहरण:
₹5000 चे 2 वर्षांसाठी 10% दराने व्याज: SI=5000×10×2100=₹1000A=P+SI=₹5000+₹1000=₹6000SI = \frac{5000 × 10 × 2}{100} = ₹1000 A = P + SI = ₹5000 + ₹1000 = ₹6000
सरावासाठी प्रश्न:
- ₹8000 चे 3 वर्षांसाठी 5% दराने व्याज किती?
- ₹6000 वर 4 वर्षांसाठी 6% दराने एकूण किती रक्कम मिळेल?
भाग 4: चक्रवाढ व्याज (Compound Interest)
चक्रवाढ व्याज म्हणजे काय?
जेव्हा प्रत्येक वर्षाच्या शेवटी मिळालेले व्याज पुढच्या वर्षी मूळ रकमेच्या जोडीला धरले जाते आणि पुढील वर्षासाठी त्याच आधारावर व्याज दिले जाते, तेव्हा त्याला चक्रवाढ व्याज म्हणतात.
सूत्र:
A=P(1+R100)TCI=A–PA = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T CI = A – P
- A = एकूण रक्कम
- CI = चक्रवाढ व्याज
- P = मूळ रक्कम
- R = व्याज दर
- T = कालावधी (वर्षांत)
उदाहरण:
₹2000 चे 2 वर्षांसाठी 10% दराने चक्रवाढ व्याज: A=2000(1+10100)2=2000×1.21=₹2420CI=₹2420–₹2000=₹420A = 2000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 2000 × 1.21 = ₹2420 CI = ₹2420 – ₹2000 = ₹420
सरावासाठी प्रश्न:
- ₹5000, 2 वर्षे, 10% दराने CI किती?
- ₹4000 चे अर्धवार्षिक दराने 2 वर्षे, 8% दराने व्याज किती?
भाग 5: सरळ व चक्रवाढ व्याज यामधील फरक
| घटक | सरळ व्याज (SI) | चक्रवाढ व्याज (CI) |
|---|---|---|
| व्याज गणना | मूळ रकमेवरच | दरवेळी वाढणाऱ्या रकमेवर |
| सूत्र | SI = P×R×T/100 | A = P(1 + R/100)^T |
| उत्पन्न वाढ | समान दराने वाढते | व्याज व्याजावर मिळते |
| व्यवहार | सामान्य कर्ज, शाळा उपयोग | बँक कर्ज, गुंतवणूक, विमा |
भाग 6: परीक्षा तयारी टिप्स
- सर्व सूत्रे व्यवस्थित पाठ करा.
- दिवसाला किमान 30 गणिती प्रश्न सोडवा.
- वेग आणि अचूकता वाढवण्यासाठी mock tests द्या.
- मागील वर्षीचे पेपर्स आणि sample papers सोडवा.
- टक्केवारी व अनुपाताचे त्वरित रूपांतरण लक्षात ठेवा.
पोलीस भरती परीक्षेसाठी वरील चारही संकल्पना अत्यंत महत्त्वाच्या आहेत. यामध्ये गणिताच्या मूलभूत बाबींचा समावेश असून त्यांचा सराव केल्यास परीक्षेत चांगले गुण मिळवणे सहज शक्य आहे.
- टक्केवारी आपल्याला संख्यात्मक प्रमाण देतात.
- अनुपात व प्रमाण तुलनात्मक विश्लेषणासाठी उपयुक्त आहेत.
- सरळ व्याज दरवर्षी स्थिर व्याज दर्शवते.
- चक्रवाढ व्याज व्याजाच्या वाढीचा परिणाम दाखवते.
या लेखातील व्याख्या, सूत्रे, उदाहरणे आणि सराव प्रश्न तुम्हाला परीक्षेच्या दृष्टीने नक्कीच उपयोगी ठरतील.